Intégration

Cet ouvrage expose une théorie simple et nouvelle de l'intégration, aussi bien réelle que vectorielle, particulièrement adaptée à l'étude des EDP. Cette théorie permet d'intégrer à valeurs dans un espace E de Neumann, c'est-à-dire dans lesquelles toutes suites de Cauchy convergent, ce qui englobe les espaces de Neumann et de Fréchet, mais aussi les espaces « faibles » ou les espaces de distributions.

Nous intégrons des « mesures intégrables » ce qui équivaut aux « classes de fonctions intégrables p.p. égales » lorsque E est un espace de Fréchet. Plus précisément, à une classe f on associe la mesure f, où f(u) est l'intégrale de fu pour toute fonction test u. L'espace Lp(O;E) classique est l'ensemble des f, et le nôtre est l'ensemble des f ; ces deux espaces sont isomorphes.

Cet ouvrage étudie en détail, pour tout espace de Neumann E, les propriétés de l'intégrale et de Lp(O;E) : régularisation, image par une application linéaire ou multilinéaire, changement de variable, séparation de variables multiples, compacts et les duaux. Lorsque E est un espace de Fréchet, nous étudions l'équivalence des deux définitions et les propriétés liées à la convergence dominée.